9 PROBABILIDAD CONDICIONAL

Si preguntamos cuál es la probabilidad de un evento sin especificar el espacio muestral, es fácil que obtengamos respuestas diferentes y todas pueden ser correctas. Por ejemplo, si preguntamos cuál es la probabilidad de que un abogado gane más de $ 170,000 en un año diez años después de haber pasado la barra, podemos obtener una respuesta que se aplique a todos los litigantes de Estados Unidos, otra que se aplique a los abogados corporativos, otra que se aplique a los abogados empleados del gobierno federal, otra que se aplique a los abogados que se especializan en casos de divorcios y así sucesivamente. Ya que la selección del espacio muestral de ninguna manera es siempre evidente por sí misma, es útil usar el símbolo P(A/S) para expresar la probabilidad condicional del evento A en relación con el espacio muestral S o como la llamamos con frecuencia "la probabilidad de A considerando S". El símbolo ^Al S) hace que sea explícito que nos estamos refiriendo a un espacio muestral particular S y por lo general es preferible que la notación abreviada ^A), a menos de que se-entienda claramente la selección tácita de S. También es preferible cuando debemos referirnos a espacios muestrales diferentes en el mismo problema.

Para ampliar la idea de una probabilidad condicional, suponga que una organización de investigación de consumo ha estudiado el servicio garantizado que ofrecen 200 llanteras en una ciudad grande y sus descubrimientos se resumen en la tabla siguiente:

Si se selecciona al azar a una de estas llanteras (es decir, cada una tiene la probabilidad de 1/200 de ser seleccionada), encontramos que las probabilidades de que se seleccione a una llantera de marcas reconocidas, una llantera que ofrece buen servicio garantizado o una llantera de marcas reconocidas que ofrece un buen servicio garantizado son

y

Todas estas probabilidades se calcularon por medio de la fórmula s/n para posibilidades igualmente probables.

Ya que la segunda de estas posibilidades es en particular desconcertante (hay casi una posibilidad de cincuenta-cincuenta de seleccionar una llantera que no ofrece buen servicio garantizado) veamos lo que sucede si limitamos la selección a llanteras de marcas reconocidas. Esto reduce el espacio muestra¡ a 80 selecciones correspondientes al primer renglón de la tabla y encontramos que la probabilidad de seleccionar una llantera que ofrece buen servicio garantizado es

Como se puede haber esperado, este es un aumento importante sobre P(G) = 0.53. Nótese que la probabilidad condicional que aquí hemos obtenido, P(G | N) = 0.80, se puede expresar también como

específicamente, como la razón de la probabilidad de selección de una llantera de marcas reconocidas que ofrece buen servicio garantizado a la probabilidad de selección de una llantera de marcas reconocidas.

Generalizando a partir de este evento, presentemos ahora la siguiente definición de la probabilidad condicional, que se aplica a dos eventos, A y B, cualesquiera que sean, pertenecientes a un espacio muestra¡ determinado, S:

Definición de probabilidad condicional

Si P(B) no equivale a cero, la probabilidad de A en relación con B, específicamente, la probabilidad de A considerando B, es

Cuando P(B) es igual a cero, la probabilidad condicional de A en relación con B es indefinida.

EJEMPLO En relación con el ejemplo anterior de las llanteras, ¿cuál es la probabilidad de que una llantera ofrezca buen servicio garantizado considerando que no comercie marcas reconocidas?

Solución

Como se puede apreciar a partir de la tabla,

de manera que la sustitución en la fórmula da como resultado

Es obvio que expresando que 42/120 = 0.35, podríamos haber obtenido este resultado directamente a partir del segundo renglón de la tabla de la página 137.

Aunque presentamos la fórmula para P(A | B) por medio de un ejemplo en el que todas las posibilidades eran igualmente probables, éste no es un requisito para su uso.

EJEMPLO En cierta escuela primaria, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar venga de una familia de dos padres es 0.75 y la probabilidad de que venga de una familia de dos padres y obtenga bajas calificaciones (en su mayor parte D's y F's) es 0. 18. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho estudiante seleccionado al azar tenga un bajo rendimiento considerando que viene de una familia de dos padres?

Solución Usando L para representar a un estudiante de bajo rendimiento y T para representar a un estudiante de una familia de dos padres tenemos P(T) = 0.75 y P(L 1 T) = 0. 18 y obtenemos

Para presentar otro concepto que es importante en el estudio de la probab consideremos el ejemplo siguiente:

EJEMPLO Si C representa las caras y X las cruces, los cuatro resultados igualmente pro para dos lanzamientos al aire de una moneda balanceada son CC, CX, XC. Si A y B representan los eventos respectivos en que se obtienen caras en el primer lanzamiento y el segundo, encuentre

Solución Usando la fórmula s/n para eventos igualmente probables, obtenemos

y, por tanto,

Lo que es especial e interesante acerca de este resultado es que P(B | A) = P(B) = 0.50, de manera que la probabilidad del evento B es la misma a pesar de que el evento A haya ocurrido. En realidad, esto no debe ser sorprendente, ya que la moneda no tiene memoria y lo que sucede en el segundo lanzamiento no se ve afectado de ninguna manera por lo que sucedió en el primero.

Si P(B) no es igual a cero y si P(A | B) = P(A), decimos que el evento A es independiente del evento B; esto es

El evento A es independiente del evento B si la probabilidad de A no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia de B.

Puesto que se puede demostrar que el evento B es independiente del evento A siempre que el evento A es independiente del evento B, se acostumbra decir simplemente que A y B son independientes siempre que uno es independiente del otro (véase el ejercicio 6.97 de la página 145). Si dos eventos, A y B, no son independientes, decimos que son dependientes.

Esta noción de independencia es satisfecha por los eventos de probabilidad cero, aunque ciertas probabilidades condicionales no son definidas. Algunas personas usan la regla de multiplicación especial de la página 141 como la definición de independencia.

EJEMPLO Las probabilidades de que un estudiante obtenga calificaciones aprobatorias en matemáticas, en inglés o en ambas materias son P(M) = 0.70, P(E) = 0.80 y P(M 1 E) = 0.56. Verifique si los eventos M y E son independientes.

Solución

Sustituyendo en la fórmula para una probabilidad condicional, obtenemos

Ya que P(M | E) = 0.70 = P(M), encontramos que los eventos M y E son independientes.

EJEMPLO Las probabilidades de que llueva o nieve en una ciudad determinada el día de Navidad, el día de Año Nuevo o en ambos días son P(C) = 0.60, P(N) = 0.60 y P(C 1 N) = 0.42. Verifique si los eventos N y C son independientes.

Solución Sustituyendo en la fórmula para una probabilidad condicional, obtenemos

Ya que P(N | C) = 0.70 no es igual que P(N) = 0.60, encontramos que los eventos N y C son dependientes.

En la siguiente sección veremos que hay otra manera de trabajar con los dos ejemplos anteriores.

Nótese que al estudiar la independencia no usamos diagramas de Venn. No es fácil representar gráficamente la independencia.

10 TEOREMA DE BAYES

Aunque los símbolos P(A | B) y P(B | A) pueden ser parecidos, hay una gran diferencia entre las probabilidades que representan. Por ejemplo, en la página 137 calculamos la probabilidad P(GN) de que una llantera de marcas reconocidas ofrezca buen servicio con garantía, ¿pero, a qué nos referimos cuando escribimos P(N | G)? Esta es la probabilidad de que una llantera que ofrece un buen servicio con garantía sea una llantera de marcas reconocidas. Para dar otro ejemplo, suponga que B representa el evento de que una persona cometió un asalto y G representa el evento de que se le encuentra culpable del crimen. Así, P(G | B) es la probabilidad de que a la persona que cometió el asalto se le encuentre culpable del crimen y P(B | G) es la probabilidad de que a la persona que se le encuentra culpable del asalto en realidad lo haya cometido. Por tanto, en ambos ejemplos hemos revertido las situaciones; por así decirlo, la causa se convirtió en efecto y el efecto se convirtió en causa.

Ya que en estadística hay muchos problemas que implican pares de probabilidades condicionales similares, encontremos una fórmula que exprese P(B | A) en términos de P(A | B) para dos eventos A y B, cualesquiera que sean. Con este fin, balanceamos las expresiones para P(A 1 B) en las dos formas de la regla de multiplicación general de la página 140 y obtenemos

y, por tanto,

después de dividir entre P(A).

EJEMPLO En un estado en el que se deben hacer pruebas de emisión de contaminantes a los automóviles, 25% de todos los automóviles emite cantidades excesivas de contaminantes. Cuando se prueban, 99% de todos los automóviles que emiten cantidades excesivas de contaminantes no pasará, pero 17% de los automóviles que no emiten cantidades excesivas de contaminantes tampoco pasará. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes?

Solución

Suponiendo que A representa el evento de que un automóvil no pasa la prueba y B es el evento de que emite cantidades excesivas de contaminantes, podemos convertir los porcentajes de referencia en probabilidades y expresar que

Antes de que podamos calcular P(B 1 A) por medio de la fórmula que presentamos en la página anterior, primero debemos determinar P(A) y para hacer esto observemos el diagrama de árbol de la figura 6.12. Aquí, se llega a A ya sea por la rama que pasa por B o por la rama que pasa por B' y las probabilidades de que esto suceda son

Ya que las alternativas representadas por las dos ramas son mutuamente excluyentes, encontramos que P(A) = 0.2475 + 0.1275 = 0.3750 y la sustitución en la fórmula para P(B | A) da como resultado

Esta es la probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes.

FIGURA 6.12 Diagrama de árbol para el ejemplo de ¡aprueba de emisión de contaminantes.

En relación con el diagrama de árbol de la figura 6.12, podemos decir que P(B | A) es la probabilidad de que se llegue al evento A por la rama superior del árbol y demostramos que este valor se determina mediante la razón de la probabilidad asociada con la rama del árbol a la suma de probabilidades asociadas con ambas ramas. Este argumento se puede generalizar para el caso en el que hay más de dos "causas" posibles, específicamente, más de dos ramas que llevan a un evento A. En relación con la figura 6.13, podemos decir que P(B_i | A) es la probabilidad de que se llegue al evento A por la i^esima rama del árbol (para i = 1, 2,... o k) y se puede demostrar que este valor se obtiene mediante la razón de la probabilidad asociada con la i^esima rama a la suma de las probabilidades asociadas con todas las ramas que llevan a A. Formalmente, expresamos que

Teorema de Bayes

Si B₁, B₂,... y B_k son eventos mutuamente excluyentes de los cuales debe ocurrir uno, entonces

para i = 1, 2,--- o k.

Nótese que la expresión del denominador en realidad equivale a P(A). Esta fórmula para calcular P(A) cuando se llega a A por uno de varios pasos intermedios, se conoce como la regla de eliminación o la regla de probabilidad total.

FIGURA 6.13 Diagrama de árbol para el teorema de Bayes

EJEMPLO En una fábrica de conservas, las líneas de ensamble I, II y III representan 50, 30 y 20% de la producción total. Si se sella inadecuadamente 0.4% de las latas de la línea de ensamble I y los porcentajes correspondientes de las líneas de ensamble II y III son 0.6 y 1.2%, ¿cuál es la probabilidad de que

(a) una lata producida en esta fábrica de conservas esté mal sellada;

(b) una lata mal sellada (descubierta en la inspección final de los productos de salida) provenga de la línea de ensamble I?

Solución

(a) Suponiendo que A representa el evento de que una lata está mal sellada y B₁, B₂ y B₃ representan los eventos de que una lata proviene de las líneas de ensamble I, II o III, podemos convertir los porcentajes en probabilidades y escribir que P(B₁) = 0.50, P(B₂) = 0.30, P(B₃) = 0.20, P(A | B₁ = 0.004, P(A | B₂) = 0.006 y P(A | B₃) = 0.0 12. Así, las probabilidades asociadas con las tres ramas del diagrama de árbol de la figura 6.14 son (0.50)(0.004) = 0.0020,(0.30)(0.006) = 0.0018 y (0.20)(0.012) = 0.0024 y la regla de eliminación general da como resultado

P(A) = 0.0020 + 0.0018 + 0.0024 = 0.062

(b) Sustituyendo este resultado junto con la probabilidad asociada con la primera rama del diagrama de árbol en la fórmula para el teorema de Bayes, obtenemos

FIGURAL 6.14 Diagrama del árbol para el ejemplo de la fábrica de conservas.

Redondeando a dos decimales.

Se pueden resolver problemas como éstos creando una producción ficticia. Suponga que imaginamos una producción de, digamos, 10,000 latas. De estas latas, 5,000 provendrán de la línea 1, 3,000 de la línea 11 y 2,000 de la línea 111. De las 5,000 latas de la línea 1, habrá 0.004 - 5,000 = 20 latas mal selladas. Aplicando una lógica similar a las otras dos líneas, completemos la tabla siguiente:

La cadena ficticia produce, en promedio, 62 latas mal selladas. De éstas, 20 provinieron de la línea I, de manera que la probabilidad condicional P(B₁ | A) es 20/62 = 0.32, exactamente como antes. El método no permite la variación de las posibilidades de las cantidades de latas producidas, de modo que es un cuanto irreal. No obstante, puede llevar con facilidad a la solución.

Como se puede apreciar en los dos ejemplos de esta sección, la fórmula de Bayes es una regla matemática relativamente simple. No puede haber duda alguna en cuanto a su validez, pero se ha criticado frecuentemente su aplicación. Esto se debe a que implica un razonamiento "revertido" o "a la inversa", específicamente, el razonamiento del efecto a la causa. Por citar un caso, en el ejemplo de la página 146 nos preguntamos sí el hecho de que un automóvil no pase la prueba de emisión de contaminantes era resultado o consecuencia de su emisión excesiva de contaminantes. De modo similar, en el ejemplo anterior nos preguntamos si una lata mal sellada provenía o era consecuencia de la línea de ensamble I. Es precisamente este aspecto del teorema de Bayes el que desempeña una importante función en la inferencia estadística, donde nuestro razonamiento va de los datos muestrales que observamos a las poblaciones de las que provienen. Se pueden hallar análisis breves de tales inferencias, bien llamadas inferencias Bayesianas, en las secciones 11.3 y 13.2.

Resumen y conclusiones

1 REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRAFICAS.

1.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS - En estadística se conoce como distribución de frecuencia a lo que en otros campos se conoce como tabla, y las columnas de esta tabla se les denomina como clases, las cuales agrupan los diferentes valores que puede tomar una variable. Los datos organizados en una distribución de frecuencia reciben el nombre de datos agrupados. En el caso de que los datos no se encuentren agrupados, estos enlistan todos los valores observados de la variable aleatoria.

En la siguiente distribución de frecuencia se muestra un ejemplo de salarios semanales de 100 trabajadores no calificados.

1.2 INTERVALOS DE CLASE - Los límites exactos de clase, o fronteras, son las divisiones o puntos específicos que separan clases adyacentes en una escala de medición de variables continuas, pueden determinarse identificando los puntos intermedios entre los límites superior e inferior de la clase. Cuando no es posible identificar límites exactos, el intervalo de clase puede determinarse restando del límite inferior, del límite inferior de la clase adyacente inferior, dicho en otras palabras del renglón inferior. En ciertos casos es común que los valores de una clase sean el punto medio de clase, el cual se determina sumando la mitad del intervalo de clase al límite exacto inferior de la clase.

Es deseable que todos los intervalos de la clase sean iguales, la siguiente formula determina el intervalo aproximado de dicha clase.

En caso que los datos sean notoriamente no uniforme, (Ej: Sueldos anuales de una planta), se utilizaran intervalos desiguales de clase, los intervalos mayores se utilizan para los rangos de valores con relativamente escasas observaciones.

1.3 HISTOGRAMASY POLÍGONOS DE FRECUENCIAS - Se conoce como histograma a lo que comúnmente se denomina una gráfica de barras como la que se muestra a continuación:

Se acostumbra colocar los límites de clase en el eje horizontal y los números de observaciones en el eje vertical. Sin embargo, también es posible utilizar puntos medios de clase en lugar de límites de clase.

Son similares a los histogramas las graficas conocidas como polígonos de frecuencias, estos son una gráfica de líneas, como se muestra en la siguiente figura:

Son similares los dos ejes de esta grafica a los del histograma, salvo que en el eje horizontal identifica el punto medio de cada clase, los valores representados de cada clase forman una serie de segmentos lineales para formar un polígono o "figura de muchos lados".

1.4 CURVAS DE FRECUENCIAS – Se conoce como curva de frecuencias a un polígono de frecuencias suavizado, como la figura que se muestra a continuación:

Juzgando su asimetría puede ser: 1) asimétrica negativa: no simétrica con la cola a la izquierda; 2) asimétrica positiva: no simétrica con la “cola" a la derecha, o 3) simétrica.

O bien, en términos de curtosis puede ser: 1) platicúrtica: plana, distribuidas en forma relativamente pareja entre las clases; 2) leptocúrtica: afilada, concentradas en un estrecho rango de valores, o 3) mesocúrtica: ni plana ni afilada en términos de la distribución de valores.

1.5 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS - Identifica el número acumulado de observaciones incluidas bajo el límite superior. Las frecuencias acumuladas pueden determinarse sumando las observadas de esa clase a las de la clase anterior, como se muestra en el siguiente ejemplo:

También se conoce como ojiva, en las del tipo "y menor que", indica las frecuencias acumuladas bajo cada límite de la distribución de frecuencias. Si esa gráfica de líneas se suaviza, se obtiene la curva llamada ojiva como la siguiente:

1.6 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS – Son aquellas cuyo número de observaciones se ha dividiendo entre el número total, de este modo es una proporción, la que puede convertirse en un porcentaje si se le multiplica por 100.

1.7 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DEL TIPO "Y MENOR QUE" - Los valores en cualquier clase son iguales a o mayores que el límite de inferior y hasta el valor del límite superior, sin incluir a éste. Además de ser más fácil de aplicar en software de cómputo, también suelen representar un modo más "natural" de representación. Por ejemplo, la edad de las personas se consideran de acuerdo con su aniversario anterior, no con el próximo, si se tiene 24 años de edad, tiene 24 como mínimo, pero menos de 25.

1.8 DIAGRAMAS DETALLO Y HOJAS – Se utiliza principalmente en el análisis exploratorio de datos, el cual es un conjunto de técnicas de análisis preliminar de datos para la detección de patrones y relaciones. se diferencia del histograma en que es más fácil de elaborar y en que muestra los valores reales de los datos, los valores específicos no se pierden por efecto de su agrupamiento en clases definidas. No obstante, esta técnica sólo es aplicable y significativa si el primer dígito de la medición, o quizá los dos primeros, sirve efectivamente de base para la separación de los datos en grupos. Cuando únicamente se usa el primer dígito para agrupar las medidas, la denominación “tallo y hojas" alude al hecho de que el primer dígito es el tallo, mientras que cada una de las medidas con valor a partir de ese primer dígito pasa a ser una hoja en el contexto de esta representación. En la siguiente tabla se presenta el puntaje de 50 estudiantes en un examen de 100 puntos.

1.9 DIAGRAMAS DE PUNTOS – Es muy similar a un histograma, se diferencia en que los valores se representan individualmente, en lugar de agruparse en clases, generalmente son aplicados a pequeños conjuntos de datos, son particularmente útiles en la comparación de dos conjuntos de datos diferentes, o de dos subgrupos de un conjunto de datos.

1.10 DIAGRAMAS DE PARETO – A diferencia de un histograma, en esta grafica los datos son cualitativos y no cuantitativos, pudiéndose representar también porcentajes, se organizan en orden descendente de izquierda a derecha, lográndose que la ubicación de las categorías más importantes estén en las posiciones iniciales de la gráfica. Se usan en el control de procesos para tabular las causas asociadas con variaciones de causas atribuibles en la calidad del producto del proceso. A continuación se muestra una grafica de este tipo:

1.11 DIAGRAMAS DE BARRAS Y GRÁFICAS DE LINEAS - Para efectos de representación gráfica, ambos tipo de grafica son de gran utilidad. En un diagrama de barras, una serie de barras representa cantidades de una serie de tiempo. Una gráfica de líneas contiene cantidades de series de tiempo unidas entre sí por líneas.

.

1.12 GRÁFICAS DE CORRIDAS – Esta es una gráfica de valores de datos en el orden secuencial en que fueron observados. Los valores trazados pueden ser valores observados individuales o valores sumariados. Si a esta grafica se le agregan los límites inferior y superior del muestreo de aceptación, se le llama gráfica de control. A continuación se muestra una grafica de este tipo:

1.13 DIAGRAMAS CIRCULARES – Es una grafica en forma de pastel cuyas piezas representan divisiones de una cantidad total. También es posible representar su valor en términos de porcentajes, facilitando la interpretación de las cifras, ejemplo:

2 DESCRIPCION DE DATOS ECONOIMICOS Y ADMINISTRATIVOS: MEDIDAS DE POSICIÓN

2.1 MEDIDAS DE POSICIÓN EN CONJUNTOS DE DATOS – Se conoce como medida de posición al valor calculado de un grupo de datos. Lo que se busca es que este valor sea representativo de todos los valores del grupo, motivo por el cual es de desear cierto tipo de promedio. En sentido estadístico, un promedio es una medida de la tendencia.

2.2 MEDIA ARITMÉTICA – Es la suma de los valores del grupo de datos, dividido entre el numero de valores, a la media aritmética también se le conoce con el nombre de promedio aritmético. En estadística, una medida descriptiva de una población, se representa por lo general con alguna de las letras del alfabeto griego Ej: m(Mu), mientras que una medida descriptiva de una muestra, o estadística muestral, se representa con alguna de las letras del alfabeto latino Ej: X (Equis).

2.3 MEDIA PONDERADA – También conocida como promedio ponderado, es una media aritmética en donde cada uno de los valores se pondera de acuerdo con su importancia en el grupo en general. Esto es, que a cada valor del grupo (X) se multiplica por el factor de ponderación correspondiente (w), tras de lo cual los productos se suman para posteriormente dividirse entre la suma de las ponderaciones. A continuación se muestra un ejemplo:

2.4 MEDIANA - Es el valor del elemento intermedio en términos de valor, un orden ascendente o descendente. En un grupo con un número par de elementos, se supone que la mediana se halla a medio camino entre los dos valores adyacentes al punto intermedio. Cuando el grupo contiene un gran número de valores, se emplea la siguiente fórmula para determinar la posición de la mediana en el grupo ordenado:

2.5 MODA – Es el valor que mas se repite en un conjunto de valores, a esto se le conoce como unimodal, en un conjunto pequeño de datos en el que no se repiten valores medidos carece de moda. Cuando dos valores no adyacentes son casi iguales, la distribución se llama bimodal. Cuando se tienen varias modas se llaman multimodales.

2.6 RELACIÓN ENTRE MEDIA Y MEDIANA – En una distribución simétrica, media, mediana y moda coinciden en valor. En una distribución asimétrica positiva, la media siempre es mayor que la mediana. En una distribución asimétrica negativa, la media siempre es menor que la mediana. Una medida de asimetría en estadística, basada en la diferencia entre los valores de la media y la mediana de un grupo de valores, es el coeficiente de asimetría de Pearson.

2.7 CRITERIOS MATEMÁTICOS SATISFECHOS POR LA MEDIANA Y LA MEDIA - La mediana y la media son medidas representativas "aceptables", teniendo entre ellas ciertas diferencias, la mediana reduce al mínimo la suma de los valores absolutos de las diferencias entre cada valor del grupo y la mediana reduce al mínimo la suma de las desviaciones absolutas respecto de los valores individuales representados. En contraste con ello, la media aritmética reduce al mínimo de la suma de las desviaciones al cuadrado respecto de los valores individuales del grupo. El criterio cuyo objetivo es reducir al mínimo la suma de las desviaciones al cuadrado asociada con un valor representativo se llama criterio de mínimos cuadrados. Este criterio es uno de los más importantes en la inferencia estadística basada en datos muestrales. A continuación se muestra una grafica con los criterios matemáticos satisfechos por la mediana y la media (Med = 11.0; Media = 10.5)

2.8 USO DE MEDIA, MEDIANA Y MODA - La moda indica la posición de la mayoría de los valores observados, puede ser útil como medida descriptiva de un grupo de la población, aunque sólo si existe una moda claramente perceptible. La mediana es siempre una medida excelente para representar el nivel "típico" de los valores observados, también la media aritmética es excelente como valor representativo de una población, aunque sólo si la población es claramente simétrica, en datos no simétricos, los valores extremos distorsionarán el valor de la media como valor representativo, así, la mediana es por lo general una mejor medida de posición de datos para la descripción de datos de la población.

2.9 USO DE LA MEDIA EN EL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS -

Es preferible usar promedios que valores individuales, porque por lo general cualquier promedio será más estable de una muestra a otra, que las observaciones individuales. La media muestral es más estable que la mediana o la moda, por esta razón, el propósito de las gráficas de corridas referentes a promedios muestrales es trazar las medias muestrales, a estas gráficas se les llama gráficas Y, y son la base para la determinación de si un proceso es estable o existe en él una variación con una causa atribuible por corregir.

2.10 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES – Estas medidas se asemejan a la mediana en que también subdividen una distribución de medidas de acuerdo con la proporción de las frecuencias observadas. La mediana divide una distribución en mitades, los cuartiles la dividen en cuartos, los deciles en décimos y los puntos percentiles en 100 partes.

3 Descripción de datos económicos y administrativos: medidas de variabilidad

3.1 MEDIDAS DE VARIABIELIDAD EN CONJUNTOS DE DATOS -

También conocidas como dispersión, se ocupan de la descripción de la variabilidad entre los valores. Existen varias formas de medir el grado de variabilidad en conjuntos de datos, tales como: el rango, los rangos modificados, la desviación media, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

3.2 RANGO - Es la diferencia entre los valores más alto y más bajo incluidos en un conjunto de datos. Así, My representa al mayor valor del grupo y Mn al menor, el rango de datos no agrupados es: R = My - Mn

3.3 RANGOS MODIFICADOS - Es un rango en el que se eliminan algunos de los valores extremos de cada una de las porciones finales de la distribución. El 50% central es el rango entre los valores en el 25o. y el 75o. punto percentil. De este modo, también es el rango entre el primer y tercer cuartiles de la distribución. Por este motivo, al rango del 50% central suele llamársele rango intercuartil (RIC). Así, RIC = Q3 – Q1. Otros rangos modificados de uso común son el 80% central, el 90% central y el 95% central.

3.4 DIAGRAMAS DE CAJA - Es una gráfica que ilustra la un conjunto de datos en referencia a los valores en los cuartiles como medidas de posición y al valor del rango intercuartil como medida de referencia de variabilidad. Es claro observar el grado de asimetría de la distribución. Es más fácil a la construcción de un hístograma . También se le conoce corno diagrama de caja y brazos. Debido a su relativa facilidad de uso, es una de las principales técnicas del análisis exploratorio de datos.

A continuación se presenta el diagrama de caja. Los límites inferior y superior de la caja rectangular de la gráfica se llaman goznes y se ubican por lo general en Q1 y Q3 Así, con base en los valores de los cuartiles. Las líneas horizontales punteadas a izquierda y derecha de la caja se llaman brazos y se extienden hasta las "barreras internas".

3.5 DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA (DMA) – Toma como base el valor absoluto de la diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la media del grupo. Determinándose el promedio de estos valores absolutos. Se usan los valores absolutos de las diferencias porque la suma de todas las diferencias positivas y negativas siempre es igual a cero. Así, las fórmulas respectivas de la DMA de la población y de la muestra son:

3.6 VARIANZAY DESVIACIÓN ESTÁNDAR – Es similar a la desviación media absoluta en que se basa en la diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la media del grupo, distinguiéndose de ella en un muy importante aspecto: cada diferencia se eleva al cuadrado antes de sumarse. En el caso de una población, la varianza se representa con V(X) o, más habitualmente, con la letra griega minúscula o² ("sigma cuadrada"). La fórmula es

Como es difícil interpretar el valor de una varianza, porque son expresadas elevadas al cuadrado, es más frecuente el uso de la raíz cuadrada de la varianza, representada por la letra griega a (o por s en el caso de una muestra) y llamada desviación estándar. Las fórmulas son:

Desviación estándar de la población:

Desviación estándar de la muestra:

3.7 CÁLCULOS SIMPLIFICADOS DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR -

Las fórmulas anteriores se llaman fórmulas de desviaciones, porque en cada caso deben determinarse las desviaciones específicas, sin embargo, se han derivado ya otras fórmulas, matemáticamente equivalentes pero que no requieren de la determinación de cada desviación. Dado que por lo general estas fórmulas son más fáciles de utilizar en la realización de cálculos, se llaman fórmulas de cálculo. Las fórmulas de cálculo son:

Varianza de la población:

Desviación estándar de la población:

Varianza de la muestra:

Desviación estándar de la muestra:

3.8 CRITERIO MATEMÁTICO ASOCIADO CON LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR - La suma de las desviaciones al cuadrado en el numerador de la fórmula de la varianza es la suma que se reduce al mínimo al usar la media aritmética como medida de posición. Por consiguiente, la varianza y su raíz cuadrada, la desviación estándar, tienen una estrecha relación matemática con la media, y ambas se emplean en inferencia estadística con datos muestrales.

3.9 USO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN LA DESCRIEPCIÓN DE DATOS - En un conjunto de valores con distribución normal, siempre ocurre que aproximadamente 68% de los valores quedan incluidos dentro de un margen de una desviación estándar respecto de la media y que aproximadamente 95% de los valores quedan incluidos dentro de un margen de dos unidades de desviación estándar respecto de la media, como se puede observarse en los siguientes diagramas.

3.10 USO DEL RANGO Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN EL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS - Para vigilar y controlar la variabilidad se determinan ya sea los rangos o las desviaciones estándar de los subgrupos racionales que constituyen las muestras secuenciales, en ambos casos, los valores se manejan en forma idéntica a la gráfica de corridas de la secuencia de pesos medios muestrales. La gráfica de rangos muestrales se llama gráfica R, mientras que la gráfica de desviaciones estándar muestrales se llama gráfica s. A continuación se muestra un ejemplo de una grafica de corridas.

3.11 COEFICIENTE DE VARIACIÓN – Identificado como “CV”, indica la magnitud relativa de la desviación estándar comparada con la media de la distribución de las medidas expresada como porcentaje. Es útil cuando se desea comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos en relación con el nivel general de los valores de cada conjunto, sus fórmulas son:

Población:

Muestra:

3.12 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON - Mide la desviación respecto de la simetría determinando la diferencia entre la media y la mediana en relación con la desviación estándar del grupo de medidas. Las fórmulas son:

En una distribución simétrica, el valor del coeficiente de asimetría será siempre de cero, porque la media y la mediana son iguales entre sí en valor. En una distribución asimétrica positiva, la media siempre es mayor que la mediana; en consecuencia, el valor del coeficiente es positivo. En una distribución asimétrica negativa, la media siempre es menor que la mediana; por lo tanto, el valor del coeficiente es negativo.

4 POBLACIONES Y MUESTRAS – Es conveniente precisar que llamamos población, al conjunto de datos que cuenta con todas las observaciones posibles (hipotéticamente posible), y muestra si sólo consta de una parte de dichas observaciones.

Originalmente la estadística manejaba la descripción de poblaciones humanas, contabilidades de censo y actividades similares, pero conforme su alcance se tomó más amplio, el término "población" cobró la más vasta connotación de sus orígenes. Actualmente nos referimos como poblaciones a las alturas de todos los árboles de un bosque o las velocidades de todos los automóviles que pasan por un punto de revisión, en estadística, "población" es un término técnico que cuenta con un significado propio.

La palabra "muestra" tiene en gran medida el mismo significado que en el lenguaje coloquial. Debemos usar la palabra "muestra" sólo para referirnos a datos que pueden servir razonablemente como la base para generalizar acerca de las poblaciones de su origen; en este sentido más técnico, muchos conjuntos de datos que por lo regular se conocen como muestras no lo son en absoluto.

5 MUESTREO ALEATORIO - Una población es finita si consta de un número finito o fijo de elementos,