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CRÍTICA DE LA RAZÓN PURA
REFLEXIONES DE MANUEL KANT
SOBRE EL MÉTODO DE LA MATEMÁTICA
FRANCO GARCÍA
FRANCISCO
CONTENIDO
KANT
FILÓSOFO DE LA CULTURA MODERNA.
Evolución
filosófica.
EL
MÉTODO MATEMÁTICO DEPENDE DE LAS CONSTRUCCIONES.
Una descripción de las construcciones kantianas.
LA
NOCIÓN KANTIANA DE INTUICIÓN.
Axioma
de la intuición.
LA
PRIMACÍA SISTEMÁTICA DE LA TEORÍA
KANTIANA DEL MÉTODO MATEMÁTICO.
LA
PRIMACÍA HISTÓRICA DE LA TEORÍA KANTIANA DEL MÉTODO
MATEMÁTICO.
LAS
OBSERVACIONES DE KANT SOBRE AL ALGEBRA.
LAS
OBSERVACIONES DE KANT SOBRE LAS
ECUACIONES ARITMÉTICAS.
EUCLIDES.
UN PARADIGMA PARA KANT.
MÉTODO
ANALÍTICO Y SINTÉTICO.
KANT
Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ECUACIONES "INDEMOSTRABLES".
LAS
INTUICIONES NUEVAMENTE INTUITIVAS.
LA
ECTHESIS EN LÓGICA.
¿SON
LOS PARTICULARES ESPECIALMENTE INTUITVOS?.
¿CÓMO
PUEDEN LAS CONSTRUCCIONES DAR UN CONOCIMIENTO A PRIORI?.
LA
ESTRUCTURA DEL ARGUMENTO KANTIANO.
BIBLIOGRAFÍA.
KANT FILÓSOFO DE LA CULTURA MODERNA.
Kant es el filósofo de la cultura moderna. La orientación que da a su
pensamiento en la más fecunda época de su vida, lo hace el pionero de tal
concepción. Kant no se limitó a formular una teoría del conocimiento
científico; meditó asimismo con hondura y sagacidad en los temas de la conducta
moral, de la religión y del arte, no menos que en las exigencias políticas y
pedagógicas, que iba reclamando ya la vida contemporánea.
La doctrina de Kant y de sus inmediatos continuadores forma la tercera
etapa de la filosofía moderna.
Kant es el fundador del criticismo, el recodo más importante de la
filosofía moderna.
Una filosofía crítica, la creada por Kant, cala hondo en la esencia
humana descubriendo sus límites y aceptándolos, pero fundando en los principios
de ella (principios objetivos, por cierto), la validez del saber
científico. En efecto: Kant enseña que
las perspectivas del conocimiento científico son inagotables, como lo ha venido
a mostrar de manera dramática la ciencia contemporánea. En cambio, hace ver que
no es posible como ciencia el saber metafísico tradicional, el saber acerca de
Dios, de la inmortalidad del alma y de la finalidad del universo.
EVOLUCIÓN FILOSÓFICA.
El pensamiento de Kant evolucionó significativamente a lo largo de su
vida. Pueden distinguirse dentro de su desarrollo cuatro períodos, cuyas ideas
aparecen expresadas de clara manera en su obra escrita, tan abundante, tan
característica, tan decisiva.
En el primer período (1746-1760) prevalece el interés por las ciencias
naturales; filosóficamente, Kant es racionalista. En el segundo (1760-1769)
aventaja la vocación filosófica, y se advierte una tendencia hacia el
empirismo. En el tercero (1769-1781) surge ya la idea criticista: es el período
de la gestación. En el cuarto (1781-1804) la Sistematización del Criticismo. El
método trascendental. La Crítica de la razón pura es la primera de las grandes
obras sistemáticas. Aparece en 1781. Fue el fruto de muchos años de meditación,
bien que redactada.
Tres objetivos
se propone la Crítica de la razón pura:
1) En qué reside la validez del conocimiento científico (matemática,
física...); 2) Cuáles son los límites de dicho saber, y, por tanto, por qué no
es posible la metafísica tradicional como ciencia; 3) Cómo es posible el
verdadero conocimiento filosófico.
El conocimiento no consiste en un proceso deductivo que parte de ideas
innatas, como enseña el racionalismo, ni en una reproducción de la experiencia,
como lo declara el empirismo. El conocer es un acto gracias al cual una materia
por conocer es conformada por ciertas leyes lógicas a priori de que echa mano
la conciencia cognoscente en el referido acto. Dichas leyes son de dos
especies: a) formas de intuición, a saber, el tiempo y el espacio; b)
categorías del entendimiento (sustancia-accidente, causa-efecto, etc.).
EL MÉTODO MATEMÁTICO DEPENDE DE LAS CONSTRUCCIONES.
Según Kant, “el conocimiento matemático es un conocimiento racional por
construcción de conceptos.” (Crítica de
la razón pura). En este trabajo haré unas sugerencias sobre la cuestión de cómo
se ha de entender esta caracterización del método matemático.
La caracterización se presenta al final de la Crítica de la razón pura
en el primer capítulo de la Doctrina Trascendental del Método. En este capítulo
Kant hace más observaciones sobre el
tema del método matemático. Estas
observaciones no han sido examinadas con profundidad por la mayoría de los que
estudian los escritos kantianos. Habitualmente han sido consideradas como una
suerte de apéndice a las concepciones
más conocidas de Kant sobre el espacio y el tiempo presentadas en la
Estética Trascendental. En este trabajo también quiero llamar la atención sobre
el hecho de que la relación entre las dos partes de la primera Crítica es
considerablemente diferente de la concepción corriente que se tiene de ella.
Respecto de la caracterización kantiana, el primer término importante
que contiene es la palabra “construcción”. Kant dice, al explicar este término,
que construir un concepto es lo mismo que exhibir, a priori, una intuición que
corresponde al concepto. En otras palabras, la construcción equivale a la
transición desde un concepto general hasta una intuición que representa al
concepto, con tal que esto se efectúe sin recurrir a la experiencia.
La matemática proporciona el ejemplo más claro de una razón pura de
éxito por sí misma, y sin el concurso de la experiencia. Los ejemplos son
contagiosos principalmente para esta facultad que se envanece naturalmente de
tener para otros casos el mismo éxito
que obtiene en un caso particular. Del mismo modo la razón pura espera poder
extenderse en su uso trascendental con el mismo resultado sólido que en su uso
matemático, sobre todo si aplica al primero, idéntico método que de tan
evidente utilidad le ha sido en el segundo. Nos importa, por tanto, saber si el
método que conduce a la certeza apodíctica y que se llama matemático en esta
última ciencia es idéntico al que sirve para buscar la misma certeza en
filosofía que podríamos denominar aquí dogmático.
El conocimiento
filosófico es el conocimiento racional por conceptos, y el conocimiento
matemático es un conocimiento racional por construcción de conceptos. Pero
construir un concepto es representar a priori la intuición que le corresponde.
La construcción de un concepto exige, pues, una intuición no empírica, que por
consecuencia, en cuanto intuición sea un objeto singular, pero que sin embargo,
como construcción de un concepto (de una representación general) debe expresar
en la representación alguna cosa universal que se aplica a todas las
intuiciones posibles, perteneciendo a este concepto. Así yo construyo un
triángulo representando el objeto correspondiente a este concepto, sea por la
simple imaginación - en la intuición pura -, sea según el dibujo que contemplo
- en la intuición empírica -, pero en el segundo caso, plenamente a priori, sin
someter el modelo a una experiencia.
UNA DESCRIPCIÓN DE LAS CONSTRUCCIONES KANTIANAS.
¿Cómo se ha de entender el término “construcción”? No sorprende
encontrarlo en una teoría de la matemática puesto que en la época de Kant tenía
un uso establecido en al menos una parte de la matemática, a saber, en la
geometría. Por lo tanto es natural suponer que Kant tiene en mente
fundamentalmente las construcciones de los geómetras.
Puede parecer natural que el recurso kantiano a la intuición esté
diseñado para proporcionar a las construcciones geométricas un mejor
fundamento. Kant parece estar diciendo que no es necesario construir una figura
geométrica en un papel o sobre el pizarrón. Todo lo que tenemos que hacer es
representar por medio de la imaginación la figura deseada. Este procedimiento
estaría justificado por el resultado de la Estética Trascendental, en el caso
de que pueda aceptarse. Pues allí se pretende mostrar que todas las relaciones
geométricas se deben a la estructura de nuestra sensibilidad (nuestro aparato
perceptual, si se prefiere el término); por esta razón se las puede representar
en la imaginación de manera acabada sin recurrir a las impresiones sensoriales.
Esta interpretación constituye el punto de
partida de una crítica que se le dirige muy a menudo a la teoría kantiana de la
matemática. Se dice, o se da por sentado, que en la matemática se puede
prescindir de las construcciones en el sentido geométrico de la expresión. Allí sólo tenemos que efectuar
algunos argumentos lógicos que pueden ser formalizados de manera completa en
términos de la lógica moderna. La única razón por la que Kant pensó que la matemática se basaba en el empleo de
construcciones consistió en que la geometría elemental de su época necesitaba
de construcciones que en la mayoría de los casos provenían casi directamente de
los Elementos de Euclides. Pero esto fue sólo una peculiaridad accidental de
tal sistema de geometría. Se debió al hecho de que el conjunto de axiomas y
postulados de Euclides era incompleto. Por lo tanto, para probar todos los
teoremas que Euclides quería probar no le era suficiente efectuar un argumento
lógico. Tenía que trazar un diagrama o una figura que le permitiera valerse de
un modo tácito de nuestra intuición geométrica, la cual proveería así las
suposiciones faltantes que él había omitido. De este modo, se afirma, la teoría
kantiana de la matemática surgió mediante el hecho de tomar como un rasgo
esencial de toda la matemática algo que sólo era una consecuencia de un defecto
propio de la axiomatización euclidiana de la geometría.
LA NOCIÓN
KANTIANA DE INTUICIÓN.
Comenzamos a
darnos cuenta de la insuficiencia de la interpretación mencionada arriba en el
momento en el que examinamos de manera más detallada la noción de construcción.
La definición de este término emplea la noción de intuición. Por lo tanto
tenemos que preguntar: ¿Qué quiso decir Kant con el término “intuición”? ¿Cómo
lo definió? ¿Cuál es la relación que hay entre su noción de intuición y aquello
que solemos asociar con ese término?
AXIOMAS DE LA
INTUICIÓN.
Su principio es:
“Todas las intuiciones son magnitudes extensivas”.
Prueba: Todos
los fenómenos contienen, según su forma, una intuición en el espacio y el
tiempo, que está a priori a la base de todos ellos. No pueden pues ser
aprehendidos, o sea, recogidos en la conciencia empírica, sino por medio de la
síntesis de lo múltiple, mediante la cual se producen las representaciones de
un determinado espacio o tiempo; es decir, por medio de la composición de lo
semejante y la conciencia de la unidad sintética de ese múltiple (semejante).
La conciencia empero de lo semejante múltiple en la intuición en general, en
cuanto por ella es posible la representación de un objeto, es el concepto de
una magnitud. Así pues, la percepción misma de un objeto como fenómeno es sólo
posible mediante la misma unidad sintética de lo múltiple de la intuición sensible
dada, por la cual la unidad de la composición de lo múltiple semejante es
pensada en el concepto de una magnitud, es decir: los fenómenos son todos ellos
magnitudes y magnitudes extensivas, porque, como intuiciones en el espacio o en
el tiempo, tienen que ser representadas por la misma síntesis por la cual el
espacio y el tiempo son en general determinados.
Llamo magnitud
extensiva aquella en que la representación de las partes hace posible la
representación del todo (y la precede, pues, necesariamente). No puedo
representarme una línea, por pequeña que sea, sin trazarla con el pensamiento,
es decir, sin producir todas sus partes poco a poco, desde un punto, y así
dibujar esa intuición. Lo mismo ocurre con el tiempo, por corto que sea. Pienso
en el tránsito sucesivo de un momento a otro, por donde, mediante todas las
partes de tiempo y su adición, prodúcese finalmente una determinada magnitud de
tiempo. Como la mera intuición de todos los fenómenos es el espacio o el
tiempo, todo fenómeno, como intuición, es una magnitud extensiva, puesto que no
puede ser conocido más que mediante una síntesis sucesiva de parte a parte en
la aprehensión. Todos los fenómenos son pues ya intuidos como unos agregados
(muchedumbre de partes dadas anteriormente), lo cual no ocurre en toda especie
de magnitudes, sino sólo en las que son aprehendidas y representadas por
nosotros extensivamente.
En esta síntesis
sucesiva de la imaginación productiva en la creación de figuras fúndase la
matemática de la extensión (geometría) con sus axiomas, que expresan las
condiciones de la intuición sensible a priori, bajo las cuales tan sólo puede
realizarse el esquema de un concepto puro del fenómeno exterior, por ejemplo:
“entre dos puntos no hay más que una recta posible”; “dos rectas no encierran
un espacio”, etc. ..Estos son los axiomas que se refieren propiamente sólo a
magnitudes (quanta)como tales.
Pero en lo que
se refiere a la magnitud, es decir, a la respuesta que se da a esta pregunta:
¿cómo es de grande tal cosa?, no hay para ella axiomas en el sentido propio,
aunque varias de esas proposiciones son sintéticas e inmediatamente ciertas.
Pues la proposición siguiente: cantidades iguales, añadidas o sustraídas a
cantidades iguales, dan cantidades iguales, es analítica, porque tengo inmediatamente
conciencia de la identidad de una y otra producción de magnitud; los axiomas
empero han de ser proposiciones sintéticas. En cambio las proposiciones
evidentes de la relación numérica, si bien son sintéticas, no son universales,
como las de la geometría, y por eso no pueden llamarse axiomas, sino fórmulas
numéricas. La proposición: 7+5=12 no es
analítica. Pues ni en la representación de 7, ni en la de 5, ni en la
representación de la composición de ambas pienso yo el número 12; no se trata
aquí de que yo deba pensarlo en la adición de ambas, pues en la proposición
analítica la cuestión es sólo la de si yo pienso realmente el predicado en la
representación del sujeto. Pero aunque sintética, es sin embargo una
proposición particular. Por cuanto se atiende aquí sólo a la síntesis de lo
semejante (las unidades), no puede la síntesis ocurrir más que de una única
manera, aunque el uso de esos números es luego universal. Cuando yo digo: con
tres líneas, dos de las cuales juntas son mayores que la tercera, se puede
trazar un triángulo, tengo la mera función de la imaginación productiva, que
puede trazar las líneas más largas y más cortas y hacer que se encuentren en
todos los ángulos que quiera. En cambio el número 7 no es posible más que de
una única manera y así mismo el número 12, producido por la síntesis del
primero con 5. Semejantes proposiciones no deben pues, llamarse axiomas (pues
habría infinitos de éstos) sino fórmulas numéricas.
Este principio
trascendental de la matemática de los fenómenos da a nuestro conocimiento a
priori una gran ampliación. Pues sólo él es el que hace que la matemática pura
sea aplicable en toda su precisión a objetos de la experiencia, cosa que sin
ese principio no se vería por sí misma claramente y hasta ha ocasionado más de
una contradicción. Los fenómenos no son cosas en sí mismas. La intuición
empírica es sólo posible por medio de la pura (del espacio y del tiempo); lo
que la geometría dice, pues, de ésta, vale sin objeción para aquélla y los
subterfugios que suponen que los objetos de los sentidos pueden no ser
conformes a las reglas de la construcción en el espacio (v.g. de la infinita
divisibilidad de las líneas o de los ángulos) deben desaparecer. Pues de ese
modo se negaría al espacio, y con él a la vez a toda la matemática, validez
objetiva, y no se sabría por qué y hasta dónde es aplicable a los fenómenos. La
síntesis de los espacios y tiempos, como síntesis de la forma esencial de toda
intuición, es, al mismo tiempo, lo que hace posible la aprehensión del fenómeno,
y por lo tanto toda experiencia externa y por consiguiente también todo
conocimiento de los objetos de la misma; y lo que la matemática, en su uso
puro, demuestra de aquella (forma), vale también necesariamente para esta
(experiencia externa). Toda objeción a esto es insistente argucia de una razón
mal instruida que, erróneamente, piensa separar los objetos de los sentidos, de
la condición formal de nuestra sensibilidad y, aunque sólo son fenómenos, se
los representa como objetos en sí mismos, dados al entendimiento; si así
fueran, de seguro que no podríamos conocer nada de ellos sintéticamente a
priori, y por tanto tampoco mediante puros conceptos del espacio; y la ciencia
que determina éstos, la geometría, no sería posible.
La
interpretación que esbocé brevemente más arriba asimila la noción kantiana de
una intuición a priori a aquello que nosotros podemos llamar imágenes mentales.
Intuición es algo que uno puede poner ante el ojo de la propia mente, algo que
uno puede visualizar, algo que uno puede presentar en su imaginación. Sin
embargo, en absoluto es éste el significado básico que Kant mismo quiso darle a
la palabra. Según su definición, presentada en el primer parágrafo de sus
lecciones sobre lógica, toda idea particular en cuanto se distingue de conceptos
generales es una intuición. En otras palabras, todo aquello que en la mente
humana representa un individuo es una intuición. Podemos decir que no hay nada
“ intuitivo” con respecto a las intuiciones
así definidas. Intuitividad significa individualidad sin más.
Por supuesto,
sigue siendo verdad que más tarde en su sistema Kant volvió a hacer intuitivas
a las intuiciones al sostener que todas nuestras intuiciones humanas están
ligadas a nuestra sensibilidad, i.e., a nuestra facultad de percepción sensible.
Pero debemos recordar que Kant nunca consideró que esta conexión entre
intuiciones y sensibilidad fuera una mera consecuencia lógica de la
definición de intuición. Por el
contrario, Kant insiste todo a lo largo
de la Crítica de la razón pura que no es incomprensible que otros seres puedan
tener intuiciones por medios distintos de los sentidos.
Para Kant la
conexión entre sensibilidad e intuición
era algo que debía probarse, no un punto de partida. Las pruebas que da
para aceptar la conexión (en el caso de los seres humanos) se presentan en la
Estética Trascendental. Por lo tanto, nos está permitido suponer la conexión
entre sensibilidad e intuiciones sólo en aquellas partes del sistema kantiano
que son lógicamente posteriores a la Estética Trascendental.
LA PRIMACÍA
SISTEMÁTICA DE LA TEORÍA KANTIANA DEL MÉTODO MATEMÁTICO.
Mi sugerencia
principal para una interpretación de la teoría kantiana del método matemático,
tal como se presenta al final de la primera Crítica, es que esta teoría no es
posterior, sino más bien sistemáticamente anterior a la Estética Trascendental.
Si esto es así, se sigue que, dentro de esta teoría, el término “intuición”
debe ser tomado en el sentido “ no intuitivo” que Kant le dio en su definición
de esa noción. En particular, hay que considerar que la caracterización
kantiana de la matemática, que la hace depender del empleo de construcciones,
sólo significa que en la matemática se introducen constantemente representantes
particulares de conceptos generales y se llevan a cabo argumentos
en términos de tales representantes particulares, argumentos que no
pueden ser realizados únicamente por medio de conceptos generales. Pues, si la
metodología kantiana de la matemática es independiente de las pruebas que da en
la Estética para conectar intuición y sensibilidad e incluso anterior a ella,
entonces en absoluto tenemos justificación alguna para suponer tal conexión
dentro de la teoría kantiana del método de la matemática, i.e., no tenemos
justificación alguna para dar a la noción de intuición un significado distinto
del que Kant le da en sus propias definiciones.
De hecho hay muy
buenas razones para concluir que la
discusión del método matemático en la Doctrina del Método es anterior, y está
presupuesta por las discusiones kantianas típicamente críticas sobre el espacio
y el tiempo en la Estética Trascendental. Una de ellas debería ser suficiente:
en los Prolegómenos, obra en la que Kant quiso aclarar la estructura de su
argumento, al comienzo y durante el argumento que corresponde a la Estética
Trascendental apela de manera explícita a sus discusiones de la metodología de
la matemática que están al final de la
Crítica de la razón pura, mediante lo cual se hace así evidente la dependencia
del primero respecto de las últimas. Esto sucede tanto cuando Kant discute el
carácter sintético de la matemática (edición de la Academia de las obras de
Kant, vol. 4, p. 272), como cuando discute su carácter intuitivo.
Espacio y tiempo
son, dos fuentes de conocimiento de las cuales a priori podemos extraer
diferentes conocimientos sintéticos; la matemática pura nos da un ejemplo
brillante, por lo que se refiere a los conocimientos del espacio y sus
relaciones. Ambas, tomadas juntas, son formas puras de toda intuición sensible
y, por eso, hacen posibles proposiciones sintéticas a priori. Mas esas fuentes
de conocimiento a priori determinan sus límites precisamente por eso (porque
son meras condiciones de la sensibilidad) a saber: que se refieren sólo a
objetos en cuanto son considerados como fenómenos, mas no representan cosas en
sí mismas. Aquellos fenómenos solos constituyen el campo de su validez y cuando
nos salimos de ellos, no podemos hacer uso alguno objetivo de esas fuentes. Esa
realidad del espacio y del tiempo deja incólume la certeza del conocimiento de
experiencia: pues estamos ciertos de él, pertenezcan necesariamente esas formas
a las cosas en sí mismas o a nuestra intuición. En cambio, los que sostienen la
realidad absoluta del espacio y del tiempo, admítanla como subsistente o sólo inherente,
tienen que hallarse en contradicción con los principios de la experiencia
misma. Pues, si se deciden por lo primero (partido que generalmente adoptan los
que investigan matemáticamente la naturaleza) tienen que admitir dos nadas
eternas, infinitas, existentes por sí ( el espacio y el tiempo) que existen
(sin que, sin embargo, ninguna realidad exista) sólo para comprender dentro de
sí todo lo real. Si se deciden por el segundo partido (al cual pertenecen
algunos que investigan metafísicamente la naturaleza) y consideran el espacio y
el tiempo como relaciones de los fenómenos (al lado o después unos de otros)
abstraídas de la experiencia, si bien confusamente representadas en la
separación, entonces tienen que negar a las teorías matemáticas a priori, en lo
que se refiere a cosas reales (v.g. en el espacio) su validez o, al menos, la
certeza apodíctica. Porque ésta no puede tener lugar a priori y los conceptos a
priori del espacio y del tiempo, según esta opinión, son sólo creaciones de la
imaginación, cuya fuente ha de buscarse realmente en la experiencia, con cuyas
relaciones, abstraídas, ha hecho la imaginación algo que, si bien contiene lo
universal de las mismas, no puede, sin embargo, tener lugar sin las
restricciones que la naturaleza ha enlazado con ellas. Los primeros ganan tanto
que abren el campo de los fenómenos para las afirmaciones matemáticas, en
cambio, confúndense mucho, por esas mismas condiciones, cuando el entendimiento
quiere salir de ese campo. Los segundos ganan,
es cierto, en lo que a esto último se refiere, puesto que las
representaciones de espacio y tiempo no les cierran el camino cuando quieren
juzgar de los objetos no como fenómenos, sino sólo con relación al
entendimiento; mas, en cambio, ni pueden señalar el fundamento de la
posibilidad de conocimientos matemáticos a priori (ya que les falta una
intuición a priori verdadera y con valor
objetivo), ni poner las leyes de la experiencia en necesaria
concordancia con aquellas afirmaciones. En nuestra teoría de la verdadera
constitución de esas dos formas originarias de la sensibilidad, quedan
remediadas ambas dificultades.
En fin, se
comprende también claramente que la estética trascendental no pueda contener
más que esos dos elementos, a saber: espacio y tiempo. Todos los demás conceptos,
en efecto, que pertenecen a la
sensibilidad, incluso el del movimiento, que reúne ambas partes, presuponen
algo empírico. El movimiento presupone percepción de algo que se mueve. Mas en
el espacio, considerado en sí, nada es móvil; lo móvil tiene que ser algo que
no se encuentra en el espacio más que por experiencia; por lo tanto, un dato
empírico. De igual modo no puede la estética trascendental contar el concepto
de la variación entre sus datos a priori; pues el tiempo mismo no muda, sino
algo que está en el tiempo. Así, pues, se exige, además, la percepción de
alguna existencia y de la sucesión de sus determinaciones, por ende, la
experiencia.
Otra razón
persuasiva dice que en la Estética Trascendental y en los momentos clave Kant
entiende por intuiciones justo aquello que nos dicen sus propias definiciones. Por ejemplo, sostiene sobre el espacio
y el tiempo: “ El espacio no es un concepto... universal, de las relaciones de
las cosas en general, sino una intuición pura. Pues... no se puede representar
más que un único espacio... El es esencialmente uno; lo múltiple en él y, por
lo tanto también el concepto universal de espacios en general, se origina sólo
en limitaciones. De aquí se sigue que... una intuición a priori... sirve de
base a todos los conceptos del mismo”. Aquí el carácter intuitivo se infiere de
un modo directo de la individualidad y, sin duda, no significa más que esto
último.
LA PRIMACÍA HISTÓRICA DE LA TEORÍA KANTIANA DEL
MÉTODO MATEMÁTICO.
Pero creo que, a
pesar de las excelentes razones que pueda haber para invertir el orden de la
exposición kantiana en la primera Crítica y para situar la discusión sobre la
matemática en la Methodenlehre antes de la Estética Trascendental, pueda crear
duda.
En verdad, ¿pudo
Kant no haber querido decir nada más que esto mediante su caracterización del
método matemático? ¿Pudo haber pensado que es una peculiaridad importante del
método de los matemáticos, en cuanto se distingue del método de los filósofos,
el hecho de que los matemáticos usen casos particulares de conceptos generales
mientras que los filósofos no? ¿No es sugerir esto llevar la definición
kantiana de intuición demasiado lejos?
Pienso que la
respuesta es que hubo un tiempo en el que Kant creyó que una de las
peculiaridades principales del método matemático consistía en el empleo de
representantes particulares de conceptos generales. Esta concepción fue
presentada en el ensayo precrítico premiado del año 1764. Su interpretación es
totalmente independiente de la interpretación de los escritos críticos de Kant.
En particular, la formulación de esta teoría kantiana precrítica no depende en
absoluto de la noción de intuición. Se sigue, por lo tanto, que la idea de que
el método matemático se basa en el uso de conceptos generales in concreto,
i.e., en la forma de instancias individuales, fue el punto de partida de las
concepciones kantianas más elaboradas sobre la matemática. Sea que la lectura
que sugiero de la caracterización kantiana de la matemática sea exhaustiva o
no, esto es, sea que intuición signifique allí algo más que una idea particular
o no, en todo casa esta lectura es la única a partir de la cual tenemos que
comenzar al tratar de entender las concepciones kantianas acerca de la
matemática.
Es útil señalar
en este punto que la lectura de Kant no es enteramente incompatible con la
interpretación más tradicional. Por un lado, una imagen mental completamente
concreta representa un particular y por lo tanto una intuición en el sentido de
la definición más amplia. Por otro lado, las instancias particulares de los
conceptos generales son de manera habitual mucho más fáciles de tratar que los
conceptos generales mismos; son mucho más intuitivas en el sentido ordinario de
la palabra que los conceptos generales. Por lo tanto, las dos interpretaciones
no difieren tanto como podría parecer a primera vista. La diferencia real entre
ambas radica en la cuestión de si a veces Kant tenía en mente, además de las
intuiciones “usuales” en el sentido de cuadros mentales o imágenes, algunos otros
individuos que se tienen realmente en cuenta en los argumentos matemáticos.
Esto, creo, es algo que vale la pena considerar.
LAS
OBSERVACIONES DE KANT SOBRE EL ALGEBRA.
De hecho, al
considerar más de cerca la teoría kantiana de la matemática tal como efectivamente
se presenta al final de la Crítica de la razón pura, veremos que muchas cosas
se vuelven comprensibles si recordamos la noción de intuición en el sentido de
una idea particular a diferencia de los conceptos generales. De manera habitual
se interpreta la teoría kantiana del método matemático a la luz de aquello que
dice en la Estética Trascendental. En otras palabras, se interpreta “intuición”
como si significara “cuadro mental” o “una imagen ante el ojo de nuestra mente”
o algo por el estilo. Pero entonces resulta muy difícil entender por qué Kant
señala que el álgebra y la aritmética se basan en el empleo de intuiciones. Sin
duda, el propósito de emplear símbolos algebraicos no es el de proporcionarnos
intuiciones en el sentido ordinario de la palabra, esto es, imágenes o cuadros
mentales más vívidos. Los eruditos han tratado de reconciliar las observaciones
que hace Kant sobre el álgebra y la aritmética con sus doctrinas críticas
centrales tal como se presenta en la Estética Trascendental. Creo que el
profesor C.D. Broad resume de manera adecuada el resultado de esos intentos en
un ensayo muy conocido sobre “La teoría kantiana del razonamiento matemático y
filosófico”. Allí dice que “Kant no proporcionó teoría alguna del razonamiento
algebraico”. Esto es, en mi opinión, perfectamente correcto si leemos la
descripción kantiana del método matemático a la luz de lo que dice en la
Estética Trascendental. Pero entonces, me parece, la opinión de Broad llega ser
casi una reductio ad absurdum de la suposición de que la Estética Trascendental
sería, en la mente de Kant, lógicamente anterior a la discusión de la
matemática que se presenta al final de la primera Crítica. Pues, bajo esta
suposición los enunciados que hace Kant sobre la aritmética y el álgebra no
sólo quedan despojados de su verdad, sino también de su significado. Si la
Estética Trascendental fuera lógicamente anterior a la metodología kantiana de
la matemática, se tornaría completamente incomprensible qué podría haber
querido decir Kant con sus observaciones sobre la aritmética y el álgebra que
de manera tan obvia están en desacuerdo con doctrinas que defiende.
Por otro lado,
si suponemos que Kant, al hacer esas observaciones sobre la aritmética y el
álgebra, mediante el término
“intuición” sólo quiso referirse a algún representante de un individuo, algunas
cosas se vuelven comprensibles, aunque no necesariamente todas. Si podemos
suponer que los símbolos que usamos en el álgebra representan números
individuales, entonces se torna trivial decir que el álgebra se basa en el
empleo de intuiciones, i.e., en el empleo de representantes de individuos en
cuanto se distinguen de conceptos generales. Después de todo, las variables del
álgebra elemental tienen su dominio de variación en los números y no toman como
sus valores de sustitución a predicados de números, tal como pueden hacerlo las
variables de una silogística formalizada. Luego, también podemos entender
aquello que Kant tenía en mente cuando denominó construcciones a operaciones
algebraicas tales como la adición, la multiplicación y la división. Pues, ¿qué
ocurre si combinamos en el álgebra dos letras, sean a y b, con un signo
funcional, sea éste f, o g, o +, o 0: , y obtenemos una expresión como f(a,b),
o g(a,b) o a+b, o a.b o a : b? Es obvio que estas expresiones representan
números individuales o, dicho de manera más general, magnitudes individuales,
usualmente individuos diferentes de aquellos que a y b representan. Entonces,
ha ocurrido que hemos introducido un representante de un nuevo individuo. Y tal
introducción de representantes de nuevos individuos, i.e., de nuevas
intuiciones, es justo aquello que sucede según la definición kantiana cuando
construimos algo. Quizá se pueda decir que los nuevos individuos representan
los conceptos de “la suma de a y b”, “el producto de a y b”, etcétera.
Por lo tanto,
las observaciones de Kant sobre el álgebra reciben un significado natural en mi
interpretación, sin considerar la cuestión de si este significado es
reconciliable en último término con aquello que dice en la Estética
Trascendental. Podríamos decir que aquí el propósito del empleo kantiano del
término “intuición” es decir que el álgebra es nominalista en términos de
Quine: los valores únicamente aceptables de las variables son individuos.
LAS
OBSERVACIONES DE KANT SOBRE LAS ECUACIONES ARITMÉTICAS.
Las
observaciones que hace Kant sobre la aritmética presentan un problema un poco
más complicado. Aquí no las examinaré en detalle, si bien se puede mostrar que
están de acuerdo con la opinión que estoy sugiriendo. En este lugar sólo quiero
referirme a una única cuestión.
En el caso de la
aritmética de números pequeños, tal como 7,5 y 12, la lectura corriente de las
observaciones de Kant no carece de plausibilidad. Kant parece estar diciendo
que para establecer que 7+5= 12 tenemos
que visualizar los números 7, 5 y 12 por medio de puntos, dedos o algunas otras ejemplificaciones adecuadas, de
manera que podamos percibir inmediatamente la ecuación deseada. Incluso llega a
decir que ecuaciones como 7+5= 12 son inmediatas e indemostrables. Esto no es
fácil de reconciliar con el hecho de que Kant, sin embargo, describió un
procedimiento que sirve para establecer la verdad de la ecuación en cuestión,
sea que a ese procedimiento lo llamemos prueba o no, y dijo que su concepción
es más natural cuando se aplica a números grandes. Espero ser capaz de mostrar
más adelante aquello que Kant quiso decir cuando dijo que las ecuaciones como
7+5= 12 son “inmediatas” e “indemostrables. No quiso decir que la ecuación
puede ser establecida sin un argumento que nosotros quizá llamaríamos una
prueba. “Inmediato” e “indemostrable” no fueron empleados para distinguir entre
percepción inmediata y un argumento articulado, sino para distinguir entre
cierta subclase de argumentos expresamente directos y otros tipos de pruebas.
En consecuencia, la interpretación corriente de la teoría kantiana también
fracasa en este punto. Más adelante intentaré decir algo acerca de la opinión
correcta.
EUCLIDES: UN
PARADIGMA PARA KANT.
Un buen camino
para comprender la teoría kantiana de la matemática consiste en preguntar:
¿Cuáles fueron los paradigmas sobre los que se modeló esta teoría? El paradigma
más obvio y de hecho un paradigma reconocido por Kant mismo fue el sistema
euclidiano de la geometría elemental. Al comienzo de este artículo vimos que
una crítica usual que se le dirige a la teoría kantiana de la matemática parte
de una comparación entre la teoría kantiana y el sistema de Euclides. Sin
embargo, me parece que no es suficiente hacer una comparación general y vaga.
Es más provechoso preguntar: ¿Exactamente en qué rasgos de la exposición de
Euclides estaba pensando Kant al elaborar su teoría? En vistas de la
interpretación de la noción kantiana de intuición que he sugerido, esa pregunta
se convierte en esta otra: ¿Hay algo particular en el procedimiento de Euclides
que favorezca la idea de que la matemática se basa en el empleo de instancias
particulares de conceptos generales?
Es fácil ver que
lo hay. Pues, ¿cuál es la estructura de una proposición en la geometría de
Euclides? De manera típica una proposición consta de cinco ( o a veces seis)
partes. Primero, hay una enunciación de una proposición general. Por ejemplo,
en la proposición 20 de los Elementos dice: “En todo triángulo dos lados
tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.
Pero Euclides
jamás procede únicamente sobre la base de la enunciación. En cada proposición, primero aplica el contenido de la enunciación a una figura
particular que él supone delineable.
Por ejemplo, después de haber enunciado la proposición 20, Euclides continúa
diciendo: “Pues, sea ABT un triángulo.
Digo que dos lados del triángulo ABT tomados juntos de cualquier manera son
mayores que el restante, los lados BA, AT (mayores) que BT, los lados AB, BT
(mayores) que AT, y los lados BG, GA (mayores) que AB”. Esta parte de una
proposición euclidiana era llamada la
exposición o ecthesis (en latín expositio).
Quizá no sea accidental que Kant empleara el equivalente alemán para “exposición” (darstellen) al explicar su noción de
construcción y que empleara el término “exposición” para un proceso análogo al
de la construcción matemática.
La exposición o
ecthesis está estrechamente relacionada con la parte que sigue, o tercera
parte, de una proposición euclidiana, la construcción auxiliar. Esta parte era
a menudo llamada la preparación u organización. Consistía en declarar que la
figura construida en la exposición tenía que ser completada mediante el trazado
de algunas líneas, puntos y círculos adicionales. En nuestro ejemplo, la
preparación dice así: “Prolónguese por el otro lado BA hasta el punto A, y
hágase AA igual a TA y trácese AT.
La construcción
era seguida por la apodeixis o prueba propiamente dicha. En la prueba no se
realizaban más construcciones. Allí tenía lugar una serie de inferencias que
concernían a la figura que había sido introducida en la exposición y completada
en la construcción auxiliar. Estas inferencias hacían uso (1) de axiomas, (2)
de proposiciones anteriores y (3) de
las propiedades de la figura que se seguían del modo en el que la figura estaba
construida.
Después de haber
alcanzado la conclusión deseada acerca de la figura particular, Euclides
regresaba otra vez a la enunciación general, diciendo, p.ej., “Por
consiguiente, en todo triángulo, etc.”
MÉTODO ANALÍTICO
Y MÉTODO SINTÉTICO.
En la geometría
hay una antigua distinción entre dos tipos de métodos. Por un lado, está el
método que consiste en suponer un resultado deseado que se puede alcanzar, por
ejemplo, en suponer que hemos tenido éxito en hacer una construcción deseada en
el sentido corriente de “construcción”. Luego, a partir de estas suposiciones
se argumenta “hacia atrás”, por así decir, hacia las condiciones a partir de
las cuales la construcción es posible y hacia las maneras en las que se puede
realizar. Este método se llama analítico. A veces fue atribuido a Platón, pero
no se empleó en gran escala, explícita y sistemáticamente, hasta la geometría
analítica de Descartes, cuyo mismo nombre se deriva del método “analítico” en
cuestión. El otro método era el método sintético. Su aplicación consiste en
tratar de producir el resultado deseado, por ejemplo, hacer una construcción
deseada mediante la efectuación real de construcciones. Aquello que distingue a
los dos métodos, por lo tanto, es de manera general el hecho de que en el
método analítico no se hagan construcciones mientras que el método sintético se
basa en el empleo de construcciones reales.
Kant indica que
aquello que hace que la matemática en general y la geometría en particular sea
sintética consiste en el empleo de intuiciones, i.e., el empleo de
construcciones. Hemos visto que en la geometría su noción de construcción
coincide con el uso matemático corriente del término “construcción”. Esto
significa, entonces, que la distinción kantiana entre analítico y sintético
está modelada, dentro de la matemática al menos, a partir de cierto uso propio
de los matemáticos que era corriente en su época. (Los matemáticos aún hoy
hablan de geometría sintética queriendo decir geometría que depende del empleo
y el estudio de construcciones geométricas.) Esta sugerencia encuentra apoyo en
las observaciones que Kant mismo hace sobre el tema y que sirven para
restringir su sentido de sintético a fin de conectarlo de manera explícita con
construcciones en un sentido casi geométrico. La distinción entre analítico y
sintético en la geometría se empleaba a menudo con el objeto de distinguir dos
procedimientos para encontrar una prueba o construcción deseada o, en algunos
casos, para separar dos métodos de exposición. Kant necesitaba una distinción
entre dos significados diferentes de realizar una prueba. Para él el paradigma
de la síntesis era precisamente la síntesis en el sentido geométrico de la
palabra, i.e., la complementación de una figura por medio de la introducción de
nuevas entidades geométricas. Kant
distingue este significado del otro que se basaba en el paradigma del
procedimiento “inverso”: desde un fundamento hacia una consecuencia.
KANT Y LA GEOMETRÍA
ANALÍTICA. ECUACIONES “INDEMOSTRABLES”.
Hay otra manera
en la que una referencia a las geometrías respectivas de Euclides y de
Descartes nos ayuda a entender a Kant. Podemos hacer una observación
particularmente interesante si comparamos la geometría de Euclides con la de
Descartes. Según Descartes, la idea principal de la geometría analítica era una
correlación o analogía entre operaciones algebraicas y geométricas. Así como
todo lo que necesitamos en la aritmética son las cuatro o cinco operaciones
básicas de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de
raíces, exactamente de la misma manera necesitamos en la geometría sólo unas
pocas construcciones básicas, dice Descartes. Aquí nos interesa la analogía
entre operaciones algebraicas y geométricas, en particular el hecho de que las
operaciones algebraicas correspondan a ciertas construcciones geométricas. Esto
da, creo, la clave para aquello que Kant quiere decir cuando dice que las
ecuaciones aritméticas simples, tales como 5+7= 12, son “inmediatas” e
“indemostrables”. Comprendemos esto si intentamos representar en la forma de
una proposición euclidiana el argumento por medio del cual se verifica 7+5= 12.
Debido a la analogía entre operaciones algebraicas y construcciones geométricas,
la adición real de 7 y 5 corresponde al tercer paso de una proposición
euclidiana, i.e., a la preparación u “organización”. Las explicaciones de Kant
también muestran que, según él, los números 7 y 5 deben de alguna manera ser
“expuestos” o “exhibidos” antes de la operación real de la adición, en analogía
con la ecthesis de una proposición euclidiana. (Esto es lo que ejemplifica sus
observaciones sobre “puntos o dedos”). Pero, entonces, ¿qué corresponde a la
prueba propiamente dicha, a la apodeixis? Obviamente todo lo que tenemos que
hacer para mostrar que 7+5= 12 es realizar la operación de adición; la prueba
en sentido propio es reducida a un mínimo, a la mera observación de que el
resultado de la adición iguala al resultado deseado, 12. En un sentido
perfectamente correcto, por lo tanto, se puede decir que ninguna prueba (en
sentido propio), ninguna apodeixis, se requiere para establecer que 7+5=12.
Esta ecuación es “inmediata” e “indemostrable” en el preciso sentido de que
puede ser establecida mediante la sola construcción auxiliar o kataskeue de una
prueba euclidiana. Esto es todo lo que dice el enunciado kantiano. Y el hecho
de que ésta haya sido realmente la idea de Kant se pone de manifiesto en una
carta que le escribió a Schultz, fechada el 25 de noviembre de 1788. La
diferencia más importante consiste en que, en vez de emplear la terminología
que concierne a los teoremas de la geometría
euclidiana, Kant se vale en su carta de una terminología paralela relativa
a los problemas geométricos.
Esto es
importante, creo, sobre todo la interpretación de determinados pasajes, porque
muestra cómo quería Kant que se entendiera el carácter intuitivo de la
aritmética. La inmediatez de las verdades aritméticas no se debe al hecho de
que se perciba y no se argumente que las ecuaciones simples como 7+5=12 son
verdaderas, sino el hecho de que lo único que tenemos que hacer para establecer
tales ecuaciones es realizar el cálculo. Esto permite explicar por qué Kant
dijo que su explicación de las ecuaciones se entiende de manera más fácil en
relación con los grandes números.
LAS INTUICIONES
NUEVAMENTE INTUITIVAS.
¿Qué hemos
logrado hasta ahora? Hemos visto que la teoría kantiana del método matemático
presentado hacia el final de la primera Crítica hay que tener en cuenta la
posibilidad de que por intuiciones Kant se refiera a representantes
particulares de conceptos generales. Hemos visto que algunos aspectos de la
teoría kantiana del álgebra, la aritmética y la geometría se vuelven
comprensibles desde este punto de vista. Pero, cabe decir, en la Estética
Trascendental se excluye la posibilidad de intuiciones que no sean sensibles.
Kant afirma allí que en la matemática todo empleo de intuiciones se basa en las
intuiciones de espacio y tiempo y que estas intuiciones corresponden a la
estructura de nuestra sensibilidad. Por lo tanto, en la matemática no resta
lugar alguno para intuiciones que no se conecten con la sensibilidad.
No está en mi
intención negar que Kant diga esto. Pero quiero señalar que el desacuerdo entre
la interpretación que se dio más
arriba de la metodología kantiana de la matemática, por un lado, y su teoría
del espacio y el tiempo presente en la Estética Trascendental, por el otro, no
refuta mi interpretación. La discrepancia entre las dos partes del sistema
kantiano contradice mi lectura de Kant sólo si la explicación de la matemática
dada en la Estética Trascendental es correcta. Kant afirma allí que el empleo
de intuiciones en la matemática sólo se puede entender si suponemos que todas
esas intuiciones se originan en nuestra sensibilidad. Ahora bien, si hay intuiciones, a saber las variables
individuales o “intuiciones” del álgebra, que no tienen relación con nuestra
sensibilidad, entonces no es la única conclusión posible que esas pretendidas intuiciones
no sean en absoluto intuiciones en sentido kantiano. Otra posibilidad es decir
que ellas son genuinas intuiciones, pero que Kant mismo se equivocó al decir
que todas las intuiciones empleadas en la matemática son sinnlich, i.e.
originadas en nuestra sensibilidad. Pero entonces queda por explicar cómo Kant
llegó a abrigar la doctrina equivocada. He dado a entender que la concepción de
que el método matemático se basa en el empleo de instancias individuales fue el
punto de partida de la teoría kantiana más conocida de que todas las
intuiciones que empleamos en la matemática se originan en nuestra sensibilidad.
¿Qué hay en la noción de una intuición considerada como una instancia
individual que haya hecho que Kant pensara que esa conclusión era inevitable?
Hemos discutido el papel que tienen en el álgebra, en la aritmética y en la
geometría las intuiciones tomadas en el sentido de representantes de
individuos. ¿Cuál es el rasgo común de estos usos que, según Kant, sólo se
puede explicar mediante la suposición de que las intuiciones matemáticas son
sensibles? ¿Cuál es el común denominador de todas las “construcciones”
matemáticas que hemos discutido?
ECTHESIS EN
LÓGICA.
Me parece que en
el análisis dado más arriba de las proposiciones de Euclides se contiene
virtualmente una generalización natural. La parte más importante de una
proposición euclidiana que es intuitiva en el sentido de Kant es la exposición,
la ecthesis. Ahora bien, esta noción de ecthesis no sólo aparece en la
geometría griega. También aparece en la lógica aristotélica. Aristóteles jamás
explica de manera explícita en qué consiste el procedimiento llamado ecthesis,
pero quizá podamos decir que era un paso en el que Aristóteles se movía desde
consideraciones sobre un término general hasta consideraciones sobre un
representante particular de ese término general. Aristóteles parece argumentar
como sigue: Si ningún A es un B, entonces ningún B es un A. Pues si no,
entonces algunos B serían A. Tómese un b particular de esta clase. Este b particular
tiene tanto la propiedad B, como la propiedad A y muestra, por lo tanto, que es
imposible que ninguno de los A sea un B tal como supusimos. Esta contradicción
prueba la conclusión. Un pasaje posterior parece indicar que Aristóteles
consideró que la ecthesis lógica era esencialmente la misma que la geometría.
Sugiero que esta
noción de ecthesis ofrece una muy buena reconstrucción de la noción kantiana de
construcción, i.e., de la noción de la exhibición de un concepto general por
medio de representantes particulares. Como vemos, concuerda muy bien con la
manera en la que Kant define la noción de construcción. Su empleo en la lógica
aristotélica puede quizás explicar por qué Kant criticó algunos aportes de esta
lógica. En efecto, llegó hasta el punto de rechazar todos los modos
silogísticos excepto los primeros dos modos de la primera figura. La
explicación puede quizá radicar en el hecho de que la aplicación particular de
la ecthesis que recién esbocé estaba diseñada para probar una de las reglas de
conversión que Aristóteles necesitaba para reducir todos los modos silogísticos
a los primeros dos modos. Desde el momento en que para Kant el uso de la
ecthesis era un método de razonamiento típicamente matemático, no pudo
emplearla en la lógica de la manera en la que Aristóteles lo hizo. Por esta
razón, Kant no pudo reducir todos lo modos silogísticos a los dos modos de
Barbara y Celarent, que él reconoció como los modos básicos, y se vio obligado
a rechazar todos los modos restantes como “impuros” y “confusos”.
La noción de
ecthesis puede precisarse en términos de la lógica moderna. Entonces, llega a
ser realmente idéntica a una de las reglas de inferencia más importantes de la
teoría de la cuantificación (la
instanciación existencial). Y en términos de la noción de ecthesis así
reconstruida podemos ver en qué sentido se
puede decir que la ecuación 7+5= 12 se basa en el empleo de
representantes particulares de conceptos generales, i.e., en el empleo de la
ecthesis.
¿SON LOS PARTICULARES ESPECIALMENTE INTUITIVOS?
Concluiré este artículo esbozando de manera muy breve y en términos no
kantianos cómo la reconstrucción de la noción kantiana de construcción en
términos de ecthesis o de algún modo similar da sentido a su intento de
conectar el método matemático con la sensibilidad. Ya se sugirió que la noción
de construcción quizá pueda ser identificada
con algunos métodos de prueba en la lógica moderna. Si esto es así,
entonces el problema kantiano de la justificación de construcciones en la
matemática no se vuelve obsoleto por la formalización de la geometría y otras
ramas de la matemática. Entonces, en la formalización del razonamiento
matemático reaparece la distinción entre métodos de argumentación intuitivos y
no intuitivos como una distinción entre dos significados diferentes de la
prueba lógica. Pero, ¿resta aún algún sentido en el que sea problemático el
empleo de los métodos “intuitivos”? ¿Habría Kant aceptado que tal
reconstrucción de la noción de intuición es una premisa de su argumento a favor
de que todas las intuiciones se originan en nuestra sensibilidad?
La respuesta a estas preguntas es, según creo, afirmativa. Podemos ver
por qué era natural para Kant hacer la transición desde el empleo de instancias
individuales de cualquier tipo hasta su conexión con la sensibilidad. Esbozaré
brevemente dos explicaciones.
Desde el punto de vista
histórico, puede decirse que nada era más natural para Kant que conectar los
individuos con el uso de nuestro sentido. Aristóteles ya sostenía que “la
sensación lo es de los singulares”. Por lo tanto, todo conocimiento que se
obtiene por medio de particulares debe ser perceptual. Cuán natural era la
aplicación de esta idea aristotélica general al caso de las construcciones en
el sentido de Kant se evidencia quizá por el hecho de que Alejandro el
Comentador ya aplicaba la idea de Aristóteles al proceso de la ecthesis.
Alejandro sostuvo que el término singular introducido en la ecthesis se da
mediante la percepción y que la prueba a través de la ecthesis consiste, por lo
tanto, en un tipo de evidencia perceptual. Y el supuesto general aristotélico
acerca de los individuos y los sentidos resonaban en los predecesores alemanes
de Kant.
¿CÓMO PUEDEN LAS CONSTRUCCIONES DAR UN CONOCIMIENTO A PRIORI?
Planteado de
esta forma, la totalidad del problema puede parecer espuria. Sin duda, no hay
nada que pueda impedir que un matemático estudie sistemas axiomáticos que
incorporen suposiciones generales de existencia. El problema sólo tiene sentido
cuando nos ocupamos de la aplicabilidad del razonamiento matemático a la
realidad. Pero esto sin duda era algo de lo que Kant se ocupaba en la
Exposición Trascendental, a pesar del hecho de que insistiera en que sólo
estaba hablando de matemática pura. Podemos preguntar: ¿Qué sucede cuando aplicamos
a la realidad un argumento matemático determinado, en el curso del cual se ha
empleado un postulado, i.e., una suposición general de existencia? Al aplicarlo
tenemos que introducir un representante de un nuevo individuo “sin que objeto
alguno esté presente, o antes o ahora, al cual se pueda referir”, tal como Kant
lo formula. La introducción de un nuevo representante de un individuo se
realiza a priori. En otras palabras, la existencia del objeto individual en
cuestión no se da mediante la experiencia. Al describir la situación Kant dice
que la intuición o, en nuestros términos, el representante de un objeto
individual precede a su objeto. Lo único que puede asegurar que haya en
absoluto algún objeto que corresponda al representante es la suposición general
de existencia. Pero puede parecer como si no hubiera en absoluto ninguna
justificación general para la aplicación de suposiciones existenciales a menos
que tengamos de hecho un contacto con los objetos cuya existencia se supone, lo
cual no es de ninguna manera el caso en relación con las aplicaciones de
nuestro conocimiento a priori. Tal como Kant lo formula, parece imposible
intuir algo a priori. Pues en la ausencia de un contacto real no hay de hecho
nada que asegure que siempre podamos encontrar objetos efectivamente
representados por los representantes que hemos introducido o que ellos tengan
las propiedades que esperamos que tengan.
La solución kantiana de este problema (real o aparente) consiste en
decir que hay uno y sólo un caso en el que podemos estar seguros de que los
individuos cuya existencia hemos supuesto existen realmente y tienen las
propiedades deseadas. Este es el caso en el que nosotros mismos hemos creado
los objetos en cuestión o nosotros mismos hemos puesto en ellos las propiedades
y relaciones deseadas. Y parece pensar que en una sola fase del proceso por el
cual llegamos a ser conscientes de objetos puede tener lugar este tipo de
actividad consistente en “poner propiedades en los objetos”. O, más bien, que
sólo hay una única fase en la que podemos “poner propiedades” en todos los
objetos (individuales). Esta fase es la percepción sensible. Pues la percepción
sensible es la única manera en la que
un objeto individual puede “abrirse paso” hasta nuestra conciencia. El sentido
externo es la única manera en la que
podemos llegar a ser conscientes de objetos externos. Por esta razón, es la
única fase de nuestro conocimiento de objetos en la que nosotros mismos podemos
atribuir relaciones espaciales a todos los objetos externos. Por lo tanto, las
relaciones espaciales postuladas en la geometría tienen que originarse en la
estructura de nuestro sentido externo.
Me valgo de esta reconstrucción parcial sólo como una primera
aproximación a aquello que Kant tenía en mente en la Exposición Trascendental.
Esta reconstrucción está muy estrechamente relacionada con el “argumento
trascendental” de Kant a favor de su teoría del espacio y el tiempo, sobre todo
tal como se presenta en los Prolegómenos. Sólo he intentado, a la luz de los
supuestos generales de Kant, llenar aquellos pasos que él mismo no enfatiza.
Quiero resaltar que en absoluto estoy afirmando que el argumento de Kant
sea correcto. El propósito principal al que sirve aquí la reconstrucción
consiste en sugerir que el problema kantiano de la posibilidad de las
construcciones en la matemática y la solución del problema que Kant intenta
tienen perfectamente sentido aun cuando por “construcción” sólo se entienda “la
introducción de un nuevo representante individual de un concepto general”.
LA ESTRUCTURA DEL ARGUMENTO KANTIANO.
Sin embargo, la estructura del argumento kantiano en la forma en la que
aquí se presenté merece un examen más detenido. A la luz de lo que ha sido
dicho se pueden representar sus diversas etapas aproximadamente como sigue:
1.
El razonamiento matemático se ocupa
principalmente de la existencia de individuos.
2.
Los resultados del razonamiento
matemático son aplicables a toda experiencia a priori. En virtud de
las suposiciones “copernicanas” generales propias de la filosofía kantiana
(“sólo podemos saber a priori de las cosas aquello que nosotros mismos hemos
puesto en ellas”), (1) y (2) nos obligan a concluir:
3.
La existencia de los individuos de los que se ocupa el
razonamiento matemático se debe al proceso por medio del cual llegamos a
conocer la existencia de individuos en general. Por supuesto, lo realmente
importante no es la existencia de los individuos como tales (hay cantidad de
individuos que existen en el mundo), sino la existencia de individuos que
mantienen entre sí las relaciones pertinentes. Por lo tanto, quizá podamos
parafrasear (3) tal como sigue:
4. Las relaciones
que mantienen entre sí los individuos de los que se ocupa el razonamiento
matemático se deben al proceso por medio del cual llegamos a conocer la existencia
de individuos. Quizá pueda esperarse que estos sistemas de relaciones mutuas se
reflejen en la estructura del razonamiento matemático.
Ahora bien, se
ha visto que Kant supone que:
5. El proceso por
medio del cual llegamos a conocer la existencia de individuos en general es la
percepción (sensación).
De (4) y (5)
se sigue que:
6. La estructura
del razonamiento matemático se debe a la estructura de nuestro aparato de percepción.
Ahora bien, (6) es en realidad un rasgo
básico de la doctrina completa y definitiva de Kant acerca del método
matemático tal como ha sido complementada a partir de los resultados que pensó
que había alcanzado en la Estética Trascendental.
BIBLIOGRAFÍA
Hintikka, Jaakko,
El Viaje Filosófico Más Largo de
Aristóteles a Virginia Woolf
Gedisa, Edición 1998
Kant, Manuel
Crítica de la Razón Pura
Traducción de Morente García, Manuel y
Fernández Nuñez, Manuel.
Porrúa, Colección “Sepan Cuantos”, Edición
1996